Question

已知函数y=2cosxsin(x+)-sin²x+sinxcosx.

（1）求函数的周期,初相；

（2）求函数取最小值时，自变量x的集合；

（3）指出函数的单调增区间.

Answer 1

思路分析：本题主要考查两角和与差的三角公式和倍角公式及三角函数图象的变换.综合利用三角公式化简解析式后，再利用正弦函数的性质和三角变换的知识解题.

解：由于y=2cosxsin(x+)-sin²x+sinxcosx

=cosx(sinx+cosx)- sin²x+sinxcosx

=2sinxcosx+cos2x

=sin2x+cos2x

=2sin(2x+).

（1）函数的周期为π，初相为；

（2）由正弦函数的性质可知，当2x+=2kπ- (k∈Z)，即x=kπ-(k∈Z)时，函数取最小为-2.

所以，使得函数取最小值的自变量x的集合为{x|x=kπ-,k∈Z}.

（3）由题意得2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

所以，函数的单调增区间为［kπ-,kπ+］(k∈Z).