Question

已知函数y=2cos（ωx+θ）（x∈R，ω＞0，0≤θ≤

π

2

）的图象与y轴相交于点M（0，

3

），且该函数的最小正周期为π．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点A（

π

2

，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x₀，y₀）是PA的中点，当y₀=

3

2

，x₀∈[

π

2

，π]时，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）将M坐标代入已知函数，计算可得得cosθ，由θ范围可得其值，由ω=

2π

T

结合已知可得ω值；
（2）由已知可得点P的坐标为（2x₀-

π

2

，

3

）．代入y=2cos（2x+

π

6

）结合x₀∈[

π

2

，π]和三角函数值得运算可得．

解答：解：（1）将x=0，y=

3

代入函数y=2cos（ωx+θ）得cosθ=

3

2

，
∵0≤θ≤

π

2

，∴θ=

π

6

．
由已知周期T=π，且ω＞0，
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2
（2）∵点A（

π

2

，0），Q（x₀，y₀）是PA的中点，y₀=

3

2

，
∴点P的坐标为（2x₀-

π

2

，

3

）．
又∵点P在y=2cos（2x+

π

6

）的图象上，且x₀∈[

π

2

，π]，
∴cos（4x₀-

5π

6

）=

3

2

，

7π

6

≤4x₀-

5π

6

≤

19π

6

，
从而得4x₀-

5π

6

=

11π

6

，或4x₀-

5π

6

=

13π

6

，
解得x₀=

2π

3

或

3π

4

点评：本题考查由三角函数的部分图象求解析式，涉及三角函数值的运算．