Question

已知a、b是两个非零向量,当a+tb(t∈R)的模取最小值时,

(1)求t的值;

(2)已知a与b不共线,求证:b与a+tb垂直.

Answer 1

(1)解:令m=|a+tb|,a与b的夹角为θ,则

m²=|a+tb|²=|a|²+t²|b|²+2|a||b|cosθ·t=|b|²(t+cosθ)²+|a|²sin²θ.

∴当t=cosθ时,m_min=|a|sinθ.

(2)证明:b·(a+tb)=a·b+tb²=|a||b|cosθ-cosθ|b|²=|a||b|cosθ-|a||b|cosθ=0,

∴b与a+tb垂直.