Question

（本小题16分）函数的定义域为{x| x ≠1}，图象过原点，且．

（1）试求函数的单调减区间；

（2）已知各项均为负数的数列前n项和为，满足，求证：

；

（3）设，是否存在，使得

？若存在，求出，证明结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由己知.

且

               

∴     

           于是

           由得或

           故函数的单调减区间为和  

（2）由已知可得，    

当时，

     两式相减得

∴（各项均为负数）

当时，， ∴      

于是，待证不等式即为．

为此，我们考虑证明不等式

令则，

再令，     由知

∴当时，单调递增    ∴   于是

即    　　　 ①

令，    由知

∴当时，单调递增    ∴   于是

即　　　　 ②

由①、②可知  

所以，，即 

（3）.

     在中令2010，并将各式相加得

     

        即.