Question

已知f（x）是偶函数，当x∈R⁺时，f′（x）＞

f(x)

x

，且f（1）=0，则关于x的不等式

f(x)

x

＞0的解集是

（-1，0）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：构造函数h（x）=

f(x)

x

，并求其导数，根据已知可分析出函数的单调性及零点，进而分析出不等式

f(x)

x

＞0的解集

解答：解：∵当x∈R⁺时，f′（x）＞

f(x)

x

，
即xf′（x）-f（x）＞0
令h（x）=

f(x)

x

则h′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0
故h（x）在（0，+∞）上为增函数，
又∵f（1）=0，
∴当x∈（1，+∞）时，h（x）=

f(x)

x

＞0
当x∈（0，1）时，h（x）=

f(x)

x

＜0
又∵f（x）是偶函数，
∴h（x）=

f(x)

x

是奇函数
故在（-∞，0）上，当x∈（-1，0）时，h（x）=

f(x)

x

＞0
综上不等式

f(x)

x

＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造函数并利用导数分析其单调性是解答的关键．