题目内容
8、已知f（x）是偶函数，x∈R，若将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，若f（2）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）=（ ）
分析：根据将f（x）的图象向右平移一个单位得到一个奇函数，即f（x-1）是奇函数，跟据f（x）是偶函数，得到f（（x-1）+4）=f（x-1），求出函数f（x）周期为4，要求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）的值，即要求501（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）的值，而由函数f（x）是R上的0偶函数，以及f（x-1）是奇函数，令x=0，1可求得（1）、f（0）、f（3）的值．从而求得结论．
解答：解：∵将f（x）的图象向右平移一个单位得到一个奇函数，
即f（x-1）是奇函数，∴f（-x-1）=-f（x-1），
又f（x）是偶函数，∴f（-x-1）=f（x+1），
∴f（x+1））=-f（x-1），
∴f（（x-1）+4）=-f（（x-1）+2）=f（x-1），可得f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）的周期为4，
∵平移前f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，x∈R，∴f（-1）=f（1）=f（3）=0，
f（0）=-f（-2）=-f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）=501（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）=-1，
故选D．
即f（x-1）是奇函数，∴f（-x-1）=-f（x-1），
又f（x）是偶函数，∴f（-x-1）=f（x+1），
∴f（x+1））=-f（x-1），
∴f（（x-1）+4）=-f（（x-1）+2）=f（x-1），可得f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）的周期为4，
∵平移前f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，x∈R，∴f（-1）=f（1）=f（3）=0，
f（0）=-f（-2）=-f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）=501（f（1）+f（2）+f（3）+f（4））+f（1）+f（2）=-1，
故选D．
点评：此题是个中档题．考查函数的周期性和奇偶性，是道综合题，其中探讨函数的周期性是难点．
练习册系列答案
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已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x-2）在x∈[
，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
| 1 |
| 2 |
| A、[-2，1] |
| B、[-5，0] |
| C、[-5，1] |
| D、[-2，0] |