Question

给出下列命题：
（1）存在实数x，使sinx+cosx=

3

2

；
（2）若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
（3）函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函数；
（4）函数f（x）=（1+cos2x）sin²x，x∈R，则f（x）是周期为

π

2

的偶函数．
（5）函数y=cos(x+

π

3

)的图象是关于点(

π

6

，0)成中心对称的图形
其中正确命题的序号是

 

 （把正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：由于sinx+cosx=

2

 sin(x+

π

4

)，最大值等于

2

，故（1）不正确．
通过举反例α=390°，β=60°，可得（2）不正确．
由于函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos2x，是偶函数，故（3）正确．
由于函数f（x）可化为 

1-cos4x

4

，故周期为

2π

4

=

π

2

，故（4）正确．
由于点(

π

6

，0)是函数图象与x轴的交点，故是对称中心，故（5）正确．

解答：解：由于sinx+cosx=

2

 sin(x+

π

4

)，最大值等于

2

，故（1）不正确．
由于当α=390°，β=60° 时，满足α，β是第一象限角，且α＞β，但cosα＞cosβ，故（2）不正确．
由于函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos2x，是偶函数，故（3）正确．
由于函数f（x）=（1+cos2x）sin²x=（1+cos2x）

1-cos2x

2

=

sin22x

2

=

1-cos4x

4

，周期为

2π

4

=

π

2

，故（4）正确．
由于当x=

π

6

 时，函数y=cos(x+

π

3

)=0，故点(

π

6

，0)是函数图象与x轴的交点，故是对称中心，故（5）正确．
故答案为3、4、5．

点评：本题考查两角和的正弦公式，余弦函数的奇偶性，周期性，对称性，化简函数的解析式时间诶体的关键．