题目内容
给出下列命题：
（1）已知可导函数f（x），x∈D，则函数f（x）在点x0处取得极值的充分不必要条件是f′（x0）=0，x0∈D．
（2）已知命题P：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＞1．
（3）已知命题p：
＞0，则￢p：
≤0．
（4）给定两个命题P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2-x+a=0有实数根．如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则实数a的取值范围是(-∞，0)∪(
，4)．
其中所有真命题的编号是
（1）已知可导函数f（x），x∈D，则函数f（x）在点x0处取得极值的充分不必要条件是f′（x0）=0，x0∈D．
（2）已知命题P：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＞1．
（3）已知命题p：
| 1 |
| x 2-3x+2 |
| 1 |
| x 2-3x+2 |
（4）给定两个命题P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2-x+a=0有实数根．如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则实数a的取值范围是(-∞，0)∪(
| 1 |
| 4 |
其中所有真命题的编号是
（2），（4）
（2），（4）
．分析：根据函数零点与导数值为0对应的数之间的关系，结合充要条件的定义，可判断（1）；利用全称命题的否定方法，可判断（2）（3）根据类二次不等式恒成立的条件及二次方程根的个数与△的关系，结合复合命题真假判断的真值表，可判断（4）
解答：解：函数f（x）在点x0处取得极值则f′（x0）=0，
但f′（x0）=0时，函数f（x）在点x0处取得极值不恒成立，
故函数f（x）在点x0处取得极值的必要不充分条件是f′（x0）=0，x0∈D．故（1）为假命题；
命题P：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＞1，故（2）为真命题；
命题p：
＞0，则￢p：
≤0或
无意义，故（3）为假命题；
若命题P：“对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立”为真，则0≤a＜4；
若命题Q：关于x的方程x2-x+a=0有实数根，则△=1-4a≥0，即a≤
．
如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则P和Q一真一假
若P真Q假，则
＜a＜4，若P假Q真，则a＜0
则实数a的取值范围是(-∞，0)∪(
，4)．
故所有真命题的编号为：（2），（4）．
故答案为：（2），（4）
但f′（x0）=0时，函数f（x）在点x0处取得极值不恒成立，
故函数f（x）在点x0处取得极值的必要不充分条件是f′（x0）=0，x0∈D．故（1）为假命题；
命题P：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＞1，故（2）为真命题；
命题p：
| 1 |
| x 2-3x+2 |
| 1 |
| x 2-3x+2 |
| 1 |
| x 2-3x+2 |
若命题P：“对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立”为真，则0≤a＜4；
若命题Q：关于x的方程x2-x+a=0有实数根，则△=1-4a≥0，即a≤
| 1 |
| 4 |
如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则P和Q一真一假
若P真Q假，则
| 1 |
| 4 |
则实数a的取值范围是(-∞，0)∪(
| 1 |
| 4 |
故所有真命题的编号为：（2），（4）．
故答案为：（2），（4）
点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的极值，全称命题，命题的否定，复合命题的真假判断，难度中档．
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