Question

函数f（x）=sinxcosx+cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期和在[0，

π

2

]上的最大值及最小值；
（2）若A为△ABC的内角，若f(

A

2

)=1，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）将f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函数的最小正周期；由下的范围，得到这个角的范围，利用正弦函数的图象可得出函数的值域，进而确定出f（x）的最大值与最小值；
（2）由f（

A

2

）=1将x=

A

2

代入函数解析式中，求出sin（A+

π

4

）的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A为直角，可得出此三角形为直角三角形．

解答：解：（1）f（x）=sinxcosx+cos²x
=

1

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）
=

2

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
又0≤x≤

π

2

，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
则f（x）_max=f（

π

8

）=

2 +1

2

，f（x）_min=f（

π

2

）=0；
（2）由f（

A

2

）=sin（A+

π

4

）+

1

2

=1，得sin（A+

π

4

）=

2

2

，
又0＜A＜π，∴A+

π

4

=

3π

4

，解得：A=

π

2

，
则△ABC为直角三角形．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角函数的周期性及其求法，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．