Question

19．已知1≤a≤3，2≤b≤5，则方程x²-bx+a²=0有实数解的概率是（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{5}{8}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出方程x²-2ax+b²=0有实数解对应的可行域面积的大小和实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1对应的图形面积的大小

解答 解：x²-bx+a²=0有实数解的充要条件是△=b²-4a²≥0．
即$\left\{\begin{array}{l}{b+2a≥0}\\{b-2a≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b+2a≤0}\\{b-2a≤0}\end{array}\right.$．
如下图所示，区域1≤a≤3，2≤b≤5的面积为6，
在1≤a≤3，2≤b≤5前提下，区域不等式组表示的区域面积为$\frac{1}{2}×3×（\frac{5}{2}-1）=\frac{9}{4}$，
由几何概型等式可得方程x²-bx+a²=0有实数解的概率是：$\frac{\frac{9}{4}}{6}=\frac{3}{8}$；
故选A．

点评 本题考查几何概型公式的运用；几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．