Question

（2012•虹口区二模）如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分别依次有点A₁、A₂，…，A_n，…，和点B₁，B₂，…，B_n…，其中A1

1，1

，B1

1，0

，B2

2，0

．且|OAn|=|OAn-1|+

2

，|BnBn+1|=

1

2

|Bn-1Bn|（n=2，3，4…）．
（1）用n表示|OA_n|及点A_n的坐标；
（2）用n表示|B_nB_n+1|及点B_n的坐标；
（3）写出四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积关于n的表达式S（n），并求S（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由|OAn|=|OA1|+(n-1)

2

=

2

•n，能求出An

n，n

．
（2）由|BnBn+1|=

1

2

|Bn-1Bn|=(

1

2

)n-1，知|OBn|=|OB1|+|B1B2|+…+|Bn-1Bn|=1+[1+

1

2

+…+(

1

2

)n-2]=3-(

1

2

)n-2，由此能用n表示|B_nB_n+1|及点B_n的坐标．
（3）由∠An+1OBn+1=

π

4

，写出四边形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积关于n的表达式S（n），并求出S（n）的最大值．

解答：解：（1）∵|OAn|=|OA1|+(n-1)

2

=

2

•n…（2分）
∴An

n，n

…（4分）
（2）|BnBn+1|=

1

2

|Bn-1Bn|=(

1

2

)n-1…（7分）
|OBn|=|OB1|+|B1B2|+…+|Bn-1Bn|=1+[1+

1

2

+…+(

1

2

)n-2]=3-(

1

2

)n-2，
∴Bn

3-( 1 2 )n-2，0)

…（10分）
（3）∠An+1OBn+1=

π

4

，
∴

S(n)= 1 2 [|OAn+1|•|OBn+1|-|OAn|•|OBn|]sin∠An+1OBn+1 = 2 4 [(n+1)• 2 •(3-( 1 2 )n-1)-n• 2 •(3-( 1 2 )n-2)] = 3 2 +(n-1)( 1 2 )n

…（14分）
∵S(n)-S(n-1)=

3-n

2n

，
∴n≥4时，S（n）单调递减．
又S(1)=

3

2

，S(2)=

7

4

=S(3)＞S(4)=

27

16

．
∴n=2或3时，S（n）取得最大值

7

4

…（18分）

点评：本题考查数列与解析几何的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．