Question

已知数列{a_n}是首项为，公比的等比数列．设，数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n
（I）求证：数列{b_n}是等差数列；
（II）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用等比数列的通项公式可求得a_n，利用对数性质可求得a_n=n，从而可求得b_n=3n-2，利用b_n+1-b_n为定值即可；
（II）由于c_n=（3n-2）•，S_n=c₁+c₂+…+c_n，利用错位相减法即可求得S_n．
解答：解：（I）证明：∵a₁=，公比q=，
∴a_n=•=，
∴a_n=n，
又b_n+2=3a_n=3n，
∴b_n=3n-2，b₁=1，
∴b_n+1=3（n+1）-2，
∴b_n+1-b_n=3，
∴{b_n}是1为首项，3为公差的等差数列；
（II）由（Ⅰ）知b_n=3n-2，a_n=，
∴c_n=a_n•b_n=（3n-2）•，
∴S_n=1×+4×+7×+…+（3n-2）× ①
S_n=1×+4×+7×+…+（3n-5）×+（3n-2）×②
故①-②得：S_n=1×+3×+3×+3×+…+3×-（3n-2）×
∴S_n=+3×-（3n-2）×=2-，
∴S_n=4-．
点评：本题考查等差数关系的确定，考查等差数列与等比数列的通项公式，考查数列求和，着重考查错位相减法，考查推理与运算能力，属于难题．