Question

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x²＋x)＝f(x)－x²＋x

(I)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；

(II)设有且仅有一个实数x₀，使得f(x₀)＝x₀，求函数f(x)的解析表达式．

Answer 1

答案：
解析：

(I)因为对任意有， 　　所以，又，从而　　2分 　　若，则，即　　　　　　4分 　　(II)因为对任意，有又有且仅有一个实数，使得，故对任意，有　　　　　　　　　6分 　　在上式中令，有　　　　　　　　　　　8分 　　又因为，所以，故或　　　　　　10分 　　若，则，但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故． 　　若，则有，易验证该函数满足题设条件． 　　综上，所求函数的解析表达式为　　　　　　12分