Question

若a＞1，不等式logax+

3x+7

 ≥5的解集为[2，+∞），则实数a=

2

．

Answer 1

分析：由底数a大于1，得到对数函数y=log_a^x为增函数，又y=3^x也为增函数，设不等式左边为函数f（x），可得f（x）为增函数，由自变量x的最小值为2，且根据已知的不等式得到f（x）的最小值为5，即f（2）=5，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：∵a＞1，∴y=log_a^x为增函数，又y=3^x也为增函数，
设f（x）=logax+

3x+7

，则f（x）为增函数，
由题意得到x≥2，且logax+

3x+7

≥5，
∴f（x）的最小值为f（2）=loga2+

32+7

=5，
化简得：log_a²=1，
则实数a=2．
故答案为：2

点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有对数函数、指数函数的单调性，以及对数的运算法则，利用了转化的思想，是高考中常考的基本题型．