Question

已知函数f(x)=-

1

3

x3+x2+ax+b(a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=3，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在其图象上任意一点（x₀，f（x₀））处切线的斜率都小于2a²，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=3代入后对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．
（2）根据导数的几何意义可将题转化为求使得f'（x）=-x²+2x+a＜2a²对任意x∈R恒成立的a的取值范围，进而根据二次函数的性质可解题．

解答：（Ⅰ）解：当a=3时，f(x)=-

1

3

x3+x2+3x+b，所以f^/（x）=-x²+2x+3，
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜3，由f'（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函数f（x）的单调增区间为（-1，3），减区间为（-∞，-1）和（3，+∞）．
（Ⅱ）解：因为f'（x）=-x²+2x+a，
由题意得：f'（x）=-x²+2x+a＜2a²对任意x∈R恒成立，
即-x²+2x＜2a²-a对任意x∈R恒成立，
设g（x）=-x²+2x，所以g（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
所以当x=1时，g（x）有最大值为1，
因为对任意x∈R，-x²+2x＜2a²-a恒成立，
所以2a²-a＞1，解得a＞1或a＜-

1

2

，
所以，实数a的取值范围为{a|a＞1或a＜-

1

2

}．

点评：本题主要考查导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属中档题．