题目内容

已知F1，F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右 焦点，已知点N(-
a2
c
，0)满足
F1F2
=2
NF1
，且|
F1F2
|=2且设A，B上半椭圆上满足
NA
=λ
NB
的两点．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若λ=
1
3
，求直线AB的斜率．
（1）由于
F1F2
=2
NF1
，|
F1F2
| =2，
∴
2c=2
2(
a2
c
-c)=2c
a2=b2-c2
，解得
a2=2
b2=1
，
∴椭圆方程为
x2
2
+y2=1．
（2）∵
NA
=λ
NB
，∴A，B，N三点共线，
而N（-2，0），设直线方程为y=k（x+2），k＞0，
由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
，得
2k2+1
k2
y2+
4y
k
+2=0，
由△=(
4
k
)2-8(
2k2+1
k2
) ＞0（k＞0），解得0＜k＜
6
2
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
4k
2k2+1
，y1y2=
2k2
2k2+1
，
∵λ=
1
3
，∴
NA
=
1
3
NB
，
∴(x1-2，y1) =
1
3
(x2-2，y2)，
∴y1=
1
3
y2，
∴
4
3
y2=
4k
2k2+1
1
3
y22=
2k2
2k2+1
，消去y，得
3k2
(2k2+1)2
=
2k2
2k2+1
，
∴k2=
1
4
，
解得k=
1
2
或k=-
1
2
（舍）
故k=
1
2
．
练习册系列答案
相关题目
（2013•湖南）已知F1，F2分别是椭圆E：
x25
+y2=1的左、右焦点F1，F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．
（2013•青岛二模）已知F1、F2分别是双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，
PF2
⊥
F1F2
，且|
PF1
|=
2
|
PF2
|，则双曲线的离心率为（　　）
已知F1，F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0， b＞0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
如图，已知F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆C的离心率e=
1
2
，F1也是抛物线C1：y2=-4x的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线l交椭圆C于D，E两点，且2
DF2
=
F2E
，点E关于x轴的对称点为G，求直线GD的方程．
已知F1，F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，P是双曲线的上一点，若
PF1
•
PF2
=0且|
PF1
|•|
PF2
|=3ab，则双曲线的离心率是
 
．

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