Question

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，且．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式化简已知的两个等式，得到关于首项和公比的方程组，根据{a_n}是各项均为正数求出方程组的解，即可得到首项和公比的值，根据首项与公比写出等比数列的通项公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的通项公式代入b_n=a_n²+log₂a_n中，化简得到数列{b_n}的通项公式，列举出数列{b_n}的各项，分别根据等比数列及等差数列的前n项和的公式即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．
解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，则a_n=a₁q^n-1，由已知得：
，
化简得：，即，
又a₁＞0，q＞0，解得：，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_n²+log₂a_n=4^n-1+（n-1）
∴T_n=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n-1）
=+
=+．
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．