Question

【题目】如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，AE⊥平面CDE， ，F为线段DE上的一点．

（1）求证：平面AED⊥平面ABCD；
（2）若二面角E﹣BC﹣F与二面角F﹣BC﹣D的大小相等，求DF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AE⊥面CDE，CD面CDE，

∴AE⊥CD，

又∴ 是矩形，

∴AD⊥CD，∴CD⊥面AED，

又∵CD面ABCD，

∴平面AED⊥平面ABCD．

（2）解：取AD，BC的中点G，H，

连结EG，GH，EH，过F作FM||EG交AD于M，

过M作NM||HG交BC于N，连结FN，

∵ ，∴ 且EG⊥AD，

∵平面AED⊥平面ABCD，∴EG⊥面ABCD，GH⊥BC，

∴EH⊥BC，∴∠EHG就是二面角E﹣BC﹣D的平面角，

同理∠FNM就是二面角F﹣BC﹣D的平面角，

由题意得∠EHG=2∠FNM，

而 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）推导出AE⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥面AED，由此能证明平面AED⊥平面ABCD．（2）取AD，BC的中点G，H，连结EG，GH，EH，过F作FM||EG交AD于M，过M作NM||HG交BC于N，连结FN，推导出∠EHG就是二面角E﹣BC﹣D的平面角，∠FNM就是二面角F﹣BC﹣D的平面角，由此能求出DF的长．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．