Question

已知抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于 A，B两点，O为坐标原点．
（1）求•的值；
（2）设=λ•，求△ABO的面积S的最小值；
（3）在（2）的条件下若S≤，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）可设l的方程x=my+1，将其与C的方程联立，消去x可得y²-4my-4=0．设A、B点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞0＞y₂），由根与系数关系可得x₁x₂和y₁y₂的值，代入数量积公式可得； （2）由=λ•，计算可得y₂=-，y₁=2，代入可得S=|OF|•|y₁-y₂|=，由基本不等式可得；（3）可得 ≤解之即可．
解答：解：（1）根据抛物线的方程可得焦点F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，
将其与C的方程联立，消去x可得y²-4my-4=0．
设A、B点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞0＞y₂），则y₁y₂=-4．
因为=4x₁，=4x₂，所以x₁x₂==1，
故•=x₁x₂+y₁y₂=-3    …（4分）
（2）因为=λ•，所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），
即  1-x₁=λx₂-λ①-y₁=λy₂②
又=4x₁  ③，=4x₂，④，由②③④消去y₁，y₂后，得到x₁=λ²x₂，将其代入①，
注意到λ＞0，解得x₂=．从而可得y₂=-，y₁=2，故△OAB的面积S=|OF|•|y₁-y₂|=
因为≧2恒成立，故△OAB的面积S的最小值是2…（8分）．
（3）由 ≤解之得≤λ≤  …（12分）
点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及圆锥曲线和基本不等式的应用，属中档题．