题目内容
已知向量
=（1-tanx，1），
=（1+sin2x+cos2x，-3），记f（x）=
（1）求f（x）的值域及最小正周期；
（2）若
，其中
，求角α．
解：（1）根据条件可知：
f（x）=（1-tanx）•（1+sin2x+cos2x）-3=
=2（cos2x-sin2x）-3=2cos2x-3
因为f（x）的定义域为
，
∴-1＜cos2x≤1∴-5＜2cos2x-3≤-1
∴f（x）的值域为（-5，-1]，f（x）的最小正周期为π．
（2）
．
所以，
，又因为，所以
或
，
所以
或
．
分析：（1）先利用向量的数量积的坐标运算求得函数的解析式，并化简，即可求得其值域及其最小正周期．
（2）由，利用两角和的正弦公式化简，得，结合α的范围，解得角α的值．
点评：本题考查余弦函数的单调性，向量的数量积运算，以及三角函数的化简求值，在求函数的值域时注意函数的定义域，是个中档题．
f（x）=（1-tanx）•（1+sin2x+cos2x）-3=
=2（cos2x-sin2x）-3=2cos2x-3因为f（x）的定义域为
，∴-1＜cos2x≤1∴-5＜2cos2x-3≤-1
∴f（x）的值域为（-5，-1]，f（x）的最小正周期为π．
（2）
．所以，
，又因为，所以或，所以
或．分析：（1）先利用向量的数量积的坐标运算求得函数的解析式，并化简，即可求得其值域及其最小正周期．
（2）由
，利用两角和的正弦公式化简，得，结合α的范围，解得角α的值．点评：本题考查余弦函数的单调性，向量的数量积运算，以及三角函数的化简求值，在求函数的值域时注意函数的定义域，是个中档题．
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