Question

在数列{a_n}中，已知a_n≥1，a₁=1，且a_n+1-a_n=

2

an+1+an-1

，n∈N^*．
（Ⅰ）记b_n=（a_n-

1

2

）²，n∈N^*，证明{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）问：数列{a_n}中是否存在正整数项？请做出判断并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1-a_n=

2

an+1+an-1

整理可得，(an+1-

1

2

)2-(an-

1

2

)2=2．即b_n+1-b_n=2，从而可判断{b_n}是等差数列，进而可求b_n，a_n；
（Ⅱ）令a_m=k（m，k∈N^*），可用k表示出m，由k的范围可判断；

解答：解：（I）∵a_n+1-a_n=

2

an+1+an-1

，
∴an+12-an2-a_n+1+a_n=2，即(an+1-

1

2

)2-(an-

1

2

)2=2．
由已知b_n=（a_n-

1

2

）²，∴b_n+1-b_n=2，
故数列{b_n}是以(a1-

1

2

)2为首项，以2为公差的等差数列．
∴(an-

1

2

)2=(a1-

1

2

)2+2（n-1）=

8n-7

4

（n∈N^*）．
∵a_n≥1，∴an=

1+ 8n-7

2

（n∈N^*）．
（II）数列{a_n}中存在正整数项．
令a_m=k（m，k∈N^*），即

1+ 8m-7

2

=k，解得m=

k2-k

2

+1．
∵对于正整数k，k²-k=k（k-1）必为非负偶数，
∴

k2-k

2

+1∈N^*，即数列{a_n}中存在正整数项．

点评：本题主要考查利用数列递推式求数列通项公式，属中档题．