Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直线x-y+1=0上，若函数f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

（n∈N^*，且n≥2），函数f（n）的最小值

 

．

Answer 1

分析：由题意可得，a_n+1-a_n=1，从而可得a_n=1+（n-1）×1=n，f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

，通过判断f（n）的 单调性确定取得最小值

解答：解：由题意可得，a_n+1-a_n=1
数列{a_n}为等差数列，公差为1
∴a_n=1+（n-1）×1=n
∴f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

则f(n+1)-f(n)=

1

n+2

+

1

n+3

+…

1

n+n

+

1

n+n+1

+

1

2n+2

-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

）
=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0
∴f（n+1）＞f（n）
即f（n）为递增的数列，则当n=2时，f（n）有最小值f（2）=

1

3

+

1

4

=

7

12

故答案为：

7

12

．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解即根据数列的单调性求解数列的最大项的问题，解题的关键是判断数列的单调性．