Question

12．如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．v₁为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，v₂为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（　　）

• A． v₁=$\frac{v}{2}$
• B． v₂=$\frac{v}{2}$
• C． v₁＞v₂
• D． v₁＜v₂

Answer 1

分析 根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．

解答 解：设大球的半径为R，则小球的半径为：$\frac{R}{2}$，
由题意可得：V=$\frac{4π}{3}$R³=4$•\frac{4π}{3}（\frac{R}{2}）^{3}-{V}_{1}+{V}_{2}$，
所以  V₂-V₁=$\frac{4π}{3}{R}^{3}-4•\frac{4π}{3}（\frac{R}{2}）^{3}$=$\frac{2π}{3}{R}^{3}$=$\frac{V}{2}＞0$，
即：V₂＞V₁．
故选：D．

点评 本题考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题．