Question

函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导函数f′(x)＞

1

2

，则不等式f（x）＜

x+1

2

 的解集为

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：构造函数g（x），确定函数的单调性，将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．

解答：解：构造函数g（x）=f（x）-

x+1

2

∴g′(x)=f′(x)-

1

2

∵f（x）在R上的导函数f′(x)＞

1

2

，
∴g′（x）＞0
∴函数g（x）在R上单调增
∵f（1）=1，∴g（1）=0
∴不等式f（x）＜

x+1

2

 等价于g（x）＜g（1）
∴x＜1
∴不等式解集为（-∞，1）
故答案为：（-∞，1）．

点评：本题考查利用导函数判断函数单调性，构造函数g（x），确定函数的单调性是关键．