Question

定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）=f（x），当x∈[0，1]时，f(x)=

x

．又g(x)=cos

πx

2

，则集合{x|f（x）=g（x）}等于（　　）

• A．{x|x=4k+

  1

  2

  ，k∈Z}
• B．{x|x=2k+

  1

  2

  ，k∈Z}
• C．{x|x=4k±

  1

  2

  ，k∈Z}
• D．{x|x=2k+1，k∈Z}

Answer 1

分析：利用条件判断出函数f（x）的周期，然后利用两个函数在同一坐标系下的图象关系确定方程的解集．

解答：解：由f（2-x）=f（x），得函数f（x）图象关于直线x=1对称，
又函数f（x）是奇函数，所以f（2-x）=f（x）=-f（x-2），所以f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4．
函数g（x）的周期也为4，
由作出两个函数的图象，在[-1，3]一个周期内，f（x）=g（x）的值有两个．
因为f（

1

2

）=

1 2

=

2

2

，且g（

1

2

）=cos

π

4

=

2

2

，所以交点的横坐标为

1

2

，同时
f（

5

2

）=f（2-

5

2

）=f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=-

2

2

．且g（

5

2

）=cos

5π

4

=-

2

2

，所以交点的横坐标为

5

2

．
即在一个周期内方程的f（x）=g（x）的解为x=

1

2

或

5

2

．
故在整个定义域内有x=4m+

1

2

=2（2m）+

1

2

，或x=4m+

5

2

=2（2m）+2+

1

2

=2（2m+1）+

1

2

，
即x=2k+

1

2

，k∈Z．
故选B．

点评：本题主要考查函数性质的综合应用，利用数形结合是解决本题的关键．