Question

直线x+a²y+1=0与直线（a²+1）x-by+3=0互相垂直，a、b∈R且ab≠0，则|ab|的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由题意知，两直线的斜率之积等于-1，得到a、b的关系，代入|ab|的解析式变形后使用基本不等式，求得其最小值．

解答：解：由题意得-

1

a2

×

a2+1

b

=-1，∴a² b=a²+1，b=

a2+1

a2

=1+

1

a2

，
∴|ab|=|a×（1+

1

a2

）|=|a+

1

a

|=|a|+|

1

a

|≥2，当且仅当 a=1 或 a=-1时，取等号．
故|ab|的最小值为2，
故答案为2．

点评：本题考查两条直线垂直的性质，利用基本不等式求式子的最小值，注意检验最小值取得的条件是否具备．