Question

长度为a(a＞0)的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且满足=λ（λ为常数，且λ＞0）.

（1）求点P的轨迹方程C；

（2）当a=λ+1时，过点M（1，0）作两条互相垂直的直线l₁和l₂，l₁和l₂分别与曲线C相交于点N和Q（都异于点M），试问△MNQ能不能是等腰三角形？若能，这样的三角形有几个；若不能，请说明理由.

Answer 1

解：（1）依题意，设点A,B的坐标分别为（x₁,0）,(0,y₁),点P的坐标为（x,y）.

由=λ，故（x-x₁,y）=λ(-x,y₁-y)=(-λx,λ(y₁-y)).

∴即                                                                      

∵|AB|=a,∴x+y=a².∴(1+λ)²x²+()²y²= a²

∴点P的轨迹方程C是(1+λ)²x²+()²y²=a².                                                      

（2）当a=λ+1时，曲线C的方程是x²+=1,故点M(1,0)在曲线C上.

依题意，可知直线l₁和l₂都不可能与坐标轴平行，                                                

可设直线l₁方程为y=k(x-1),直线l₂方程为y=-(x-1),不妨设k＞0.

由消去y得(λ²＋k²)x²-2k²x+k²-λ²=0.

由x_m·x_n=，又x_m＝1,得x_n＝，

∴|MN|=|x_n-x_m|=|-1|=·.              

同理可得|MQ|＝·＝·.                     

假设ΔMNQ是等腰三角形，则|MN|＝|MQ|，即·＝·，

化简得(k-1)[k²+(1-λ²)k+1]=0,

∴k=1或k²+(1-λ²)k+1=0.                                                                                 ①

①式的叛别式Δ＝(1-λ²)²－4,

在RTΔEBD′中，=，可求得FG=.                                                  

∴sin∠FAG===.

∴直线AC与平面ABD′所成的角为Arcsin.