Question

长度为a(a＞0)的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且(λ为常数且λ＞0)．

(Ⅰ)求点P的轨迹方程C；

(Ⅱ)当a＝λ＋1时，过点M(1，0)作两条互相垂直的直线l₁和l₂，l₁和l₂分别与曲线C相交于点N和Q(都异于点M)，试问：△MNQ能不能是等腰三角形？若能，这样的三角形有几个；若不能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)设、、，则 　　，　2分 　　由此及得 　　，即；　5分 　　(Ⅱ)当时，曲线的方程为．　6分 　　依题意，直线和均不可能与坐标轴平行，故不妨设直线()，直线，从而有 　　． 　　同理，有．　8分 　　若是等腰三角形，则，由此可得 　　，即或．　10分 　　下面讨论方程的根的情形()： 　　①若，则，方程没有实根； 　　②若，则，方程有两个相等的实根； 　　③若，则，方程有两个相异的正实根，且均不等于(因为)．　13分 　　综上所述，能是等腰三角形：当时，这样的三角形有且仅有一个；而当时，这样的三角形有且仅有三个．　14分