题目内容
设a为实数，函数f（x）=x3-x2-x+a，
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点。
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点。
解：（Ⅰ）令
得：
，
又∵当x∈(-∞，
)时，f′（x）＞0；
当x∈(
，1)时，f′（x）＜0；
当x∈(1，+∞)时，f′（x）＞0，
∴
与
分别为f（x）的极大值与极小值点，
∴f（x）极大值=
，f（x）极小值=a-1；
（Ⅱ）∵f（x）在(-∞，
)上单调递增，
∴当x→-∞时，f（x）→-∞；
又f（x）在(1，+∞)单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴当f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点，
即
或a-1＞0，
∴a∈(-∞，
)∪(1，+∞)。
得：，又∵当x∈(-∞，
)时，f′（x）＞0；当x∈(
，1)时，f′（x）＜0；当x∈(1，+∞)时，f′（x）＞0，
∴
与分别为f（x）的极大值与极小值点，∴f（x）极大值=
，f（x）极小值=a-1；（Ⅱ）∵f（x）在(-∞，
)上单调递增， ∴当x→-∞时，f（x）→-∞；
又f（x）在(1，+∞)单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴当f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点，
即
或a-1＞0，∴a∈(-∞，
)∪(1，+∞)。
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