题目内容
【题目】已知函数
，其中
，
.
（1）若
，
，且对任意的
，都有
，求实数
的取值范围；
（2）若
，
，且
在
单调递增，求
的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）代入
,
可求得
的解析式.代入不等式化简,将不等式化简为关于
的二次函数形式,结合
即可求得
的取值范围.
（2）解法1:根据条件
可求得函数的对称轴,且由
可得
的表达式.再根据在
单调递增,可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的最大值.
解法2:根据在单调递增可先求得的取值范围,结合可得函数的对称轴, 且由可得的表达式.根据
可求得
的值,再求得于的值,即可得的解析式.进而求得满足在单调递增时的最大值.
（1）∵,
∴
∴
,即
∵
∴
∴当
时,
∴
（2）解法1：∵
∴
为
图像的对称轴
又
∴
两式相减得
∴
∵
在单调递增,令
∴
在
单调递增
∴
,则
,
①+②得
∴
∵
∴当
时取到最大值为
解法2：在单调递增
∴
∴
∵
∴为图像的对称轴
又
∴
两式相加得
∵
∴
或
①当时,
,得
,
②当时
,得
,
当,时
时,
则满足条件在单调递增,所以的最大值为.
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