Question

已知f(x)=2sin

x

4

cos

x

4

-2

3

sin2

x

4

+

3

（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在闭区间[0，π]上的最小值并求当f（x）取最小值时x的取值．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期；
（2）由x的范围求出“

x

2

+

π

4

”的范围，再由正弦函数的性质求出函数的最小值以及对应的x的值．

解答：解：（1）由题意得，f(x)=sin

x

2

-

3

(1-cos

x

2

)+

3

=sin

x

2

+cos

x

2

=

2

sin(

x

2

+

π

4

)，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π，
（2）由0≤x≤π得，

π

4

≤

x

2

+

π

4

≤

3π

4

，
∴

2

2

≤sin(

x

2

+

π

4

)≤1，即1≤

2

sin(

x

2

+

π

4

)≤

2

，
则当

x

2

+

π

4

=

π

4

或

3π

4

，即x=0或π时，f（x）取最小值是1．

点评：本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式，正弦函数的性质应用，属于中档题．