Question

10．已知正项数列{a_n}满足a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1，a₁=1．
（1）求a₂的值；
（2）证明：对任意实数n∈N^*，a_n≤2a_n+1；
（3）记数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：对任意n∈N^*，2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤S_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由代入法，解方程可得a₂，注意负值舍去；
（2）由题意可得可得a_n²-4a²_n+1+a_n-2a_n+1+4a²_n+1=0，因式分解，即可得证；
（3）运用（2）的结论，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1，a₁=1，
即有a₁²+a₁=3a²₂+2a₂=2，
解得a₂=$\frac{\sqrt{7}-1}{3}$（负的舍去）；
（2）证明：a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1，
可得a_n²-4a²_n+1+a_n-2a_n+1+4a²_n+1=0，
即有（a_n-2a_n+1）（a_n+2a_n+1+1）+4a²_n+1=0，
由于正项数列{a_n}，
即有a_n+2a_n+1+1＞0，4a²_n+1＞0，
则有对任意实数n∈N^*，a_n≤2a_n+1；
（3）由（1）可得对任意实数n∈N^*，a_n≤2a_n+1；
即为a₁≤2a₂，可得a₂≥$\frac{1}{2}$，a₃≥$\frac{1}{2}$a₂≥$\frac{1}{4}$，
…，a_n≥$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
前n项和为S_n=a₁+a₂+…+a_n≥1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
又a_n²+a_n=3a²_n+1+2a_n+1＞a²_n+1+a_n+1，
即有（a_n-a_n+1）（a_n+a_n+1+1）＞0，
则a_n＞a_n+1，数列{a_n}递减，
即有S_n=a₁+a₂+…+a_n＜1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$
=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$=3（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）＜3．
则有对任意n∈N^*，2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$≤S_n＜3．

点评 本题考查数列的通项和求和间的关系，考查数列不等式的证明，同时考查等比数列的求和公式的运用，以及不等式的性质，属于中档题．