Question

在一次抗洪抢险中准备用射击的方法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是

2

3

．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光停止射击，请通过计算证明：停止射击的概率必然为1．

Answer 1

分析：（1）记油罐被引爆为事件A，其对立事件

.

A

为5发子弹用完，油罐没有被引爆，分析可得

.

A

包含2种情况，①、5发子弹中有1发命中，②、5发子弹都没有命中，计算可得①②的概率，由互斥事件概率的加法公式可得P（

.

A

），进而由对立事件的概率性质可得答案，
（2）根据题意，停止射击时，射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5；分别求出ξ=2、ξ=3、ξ=4、ξ=5的概率，将其相加即可得停止射击的概率，即可得证明．

解答：解：（1）记油罐被引爆为事件A，其对立事件

.

A

为5发子弹用完，油罐没有被引爆，

.

A

包含2种情况，①、5发子弹中有1发命中，其概率为p₁=

C

1 5

 ×

2

3

×(1-

2

3

)4=

10

243

，
②、5发子弹都没有命中，其概率为p₂=(1-

2

3

)5=

1

243

，
P（

.

A

）=P₁+P₂=

11

243

，
油罐被引爆的概率P（A）=1-P（

.

A

）=

232

243

，
（2）根据题意，停止射击时，射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5；
当ξ=2时，表示两枪都击中，P(ξ=2)=(

2

3

)2=

4

9

；
当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，P(ξ=3)=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

=

8

27

；
当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，P(ξ=4)=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2×

2

3

=

4

27

；
当ξ=5时，有3种情况①前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中，②子弹打光，5发子弹都没有命中，③子弹打光5发子弹中有1发命中，
P（ξ=5）=C₄¹×

2

3

×（

1

3

）³×

2

3

+C₅¹×

2

3

×（

1

3

）⁴+（

1

3

）⁵=

1

9

；
计算有P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）=1成立，
即停止射击的概率必然为1．

点评：本题考查概率的应用，涉及n次独立重复试验中恰有k次发生的概率计算，解题的关键是注意分类的标准要统一，避免重复讨论或遗漏情况．