Question

在高等数学中有如下定义：函数y=f（x）的导数f′（x）叫作函数y=f（x）的一阶导数，类似地，把y=f′（x）的导数叫作函数y=f（x）的二阶导数．现若有函数f(x)=asinx+

1

3

bcosx+sin3x在x=

π

3

处取得极大值，则b的范围为（　　）

• A．b＜

  3

• B．b＞

  1

  2

• C．

  1

  2

  ＜b＜

  3

  2

• D．b＜

  3

  2

Answer 1

分析：根据二阶导数的定义，结合函数单调性与导数的关系，可得y=f（x）的极大值点x₀满足：f'（x₀）=0且二阶导数[f'（x₀）]'＜0．求出函数的导数和二阶导数，根据以上结论建立关于a、b的不等式，解之即得实数b的取值范围．

解答：解：函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值，说明y=f（x）在x=x₀的左边为增函数，在x=x₀的右边为减函数，
∴y=f'（x）在x=x₀的左边为正数，在x=x₀的右边为负数，得x=x₀在y=f'（x）的减区间内
因此满足：f'（x₀）=0且二阶导数[f'（x₀）]'＜0
对于函数f(x)=asinx+

1

3

bcosx+sin3x，得f'（x）=acosx-

1

3

bsinx+3cos3x
二阶导数[f'（x）]'=-asinx-

1

3

bcosx-9sin3x
∵函数f(x)=asinx+

1

3

bcosx+sin3x在x=

π

3

处取得极大值，
∴

f′( π 3 )=acos π 3 - 1 3 bsin π 3 +3cosπ=0 [f′( π 3 )]′=-asin π 3 - 1 3 bcos π 3 -9sinπ＜0

，解之得：b＜

3

故选A

点评：本题给出函数二阶导数的定义，求函数取得极大值时参数的取值范围，着重考查了函数单调性导数的关系与利用导数研究函数的极值等知识，属于基础题．