Question

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2．设该数列的前n项和为S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，┅，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a=2，数列{b_n}满足b_n=（n=1，2，┅，2k），求数列{b_n}的通项公式；
（3）若（2）中的数列{b_n}满足不等式|b₁-|+|b₂-|+┅+|b_2k-1-|+|b_2k-|≤4，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要利用分类讨论的思想，分别对n=1时和2≤n≤2k-1时进行讨论，进而获得a_n与a_n+1的关系，故可获得问题的解答；
（2）首先利用（1）的结论和条件获得a_n的表达式，然后对a₁a_2…a_n进行化简，结合对数运算即可获得数列{b_n}的通项公式；
（3）首先利用分类讨论对的大小进行判断，然后对所给不等式去绝对值，即可找到关于k的不等式，进而问题即可获得解答．
解答：解：由题意：
（1）证明：
当n=1时，a₂=2a，则=a；
当2≤n≤2k-1时，a_n+1=（a-1）S_n+2，a_n=（a-1）S_n-1+2，
∴a_n+1-a_n=（a-1）a_n，
∴=a，
∴数列{a_n}是等比数列．
（2）解：由（1）得a_n=2a^n-1，
∴a₁a₂a_n=2ⁿ a^{1+2+…+（n-1）}=2ⁿ=，
b_n=（n=1，2，2k）．
（3）设b_n≤，解得n≤k+，又n是正整数，于是当n≤k时，b_n＜；
当n≥k+1时，b_n＞．
原式=（-b₁）+（-b₂）++（-b_k）+（b_k+1-）++（b_2k-）
=（b_k+1++b_2k）-（b₁++b_k）
==．
当≤4，得k²-8k+4≤0，4-2≤k≤4+2，又k≥2，
∴当k=2，3，4，5，6，7时，
原不等式成立．
点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、对数运算的知识以及绝对值和解不等式的知识．值得同学们体会和反思．