Question

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2，设该数列的前n项和为S_n，且S_n=

an+1-2

a-1

（n=1，2，3，…，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a=2

2

2k-1

，数列{b_n}满足b_n=

1

n

log2(a1a2…an)，（n=1，2，3，…，2k），求证：1≤b_n≤2；
（3）若（2）中数列{b_n}满足不等式：|b₁-

3

2

|+|b2-

3

2

|+…+|b2k-1-

3

2

|+|b2k-

3

2

|≤4，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）要根据Sn与an的固有关系a_n=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，得出a_n+2=a•a _n+1，再考虑

a2

a1

的值，判定{a_n}的性质去求解．
（2）首先利用（1）的结论和条件获得a_n的表达式，然后对a₁a_2…a_n进行化简，结合对数运算即可获得数列{b_n}的通项公式；
（3）首先利用分类讨论对 bn与

3

2

的大小进行判断，然后对所给不等式去绝对值，即可找到关于k的不等式，进而问题即可获得解答．

解答：解：（1）S_n=

an+1-2

a-1

①，S _n+1=

an+2-2

a-1

②
②-①得，S _n+1-S_n=a _n+1=

an+2-an+1

a-1

化简整理得，a_n+2=a•a_n+1，

an+2

an+1

=a（  n≥1）
又由已知a₁=S₁=

a2- 2

a-1

，整理得出a₂=a•a₁
∴数列{a_n}是以a为公比，以2为首项的等比数列，
通项公式为a_n=2×a ^n-1．

（2）由（1）得a_n=2a^n-1，
∴a₁a₂a_n=2ⁿa^{1+2+…+（n-1）}=2ⁿa

n(n-1)

2

=2n+

n(n-1)

2k-1

，
b_n=

1

n

[n+

n(n-1)

2k-1

]=

n-1

2k-1

+1（n=1，2，…，2k）．
∵2k-1≥n-1
∴0 ≤

n-1

2k-1

≤ 1
   即1≤b_n≤2；

（3）设b_n≤

3

2

，解得n≤k+

1

2

，又n是正整数，于是当n≤k时，b_n＜

3

2

；
当n≥k+1时，b_n＞

3

2

．
原式=（

3

2

-b₁）+（

3

2

-b₂）+…+（

3

2

-b_k）+（b_k+1-

3

2

）+…+（b_2k-

3

2

）
=（b_k+1+…+b_2k）-（b₁+…+b_k）
=[

1 2 (k+2k-1)k

2k-1

+k]-[

1 2 (0+k-1)k

2k-1

+k]=

k2

2k-1

．
当

k2

2k-1

≤4，得k²-8k+4≤0，4-2

3

≤k≤4+2

3

，又k≥2，
∴当k=2，3，4，5，6，7时，原不等式成立．
k的最大值为7．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、对数运算的知识以及绝对值和解不等式的知识．值得同学们体会和反思．