Question

8．已知实数a，b满足：a²+b²≠0，过点M（-1，0）作直线ax+by+2b-a=0的垂线，垂足为N，点P（1，1），则|PN|的最大值为$\sqrt{5}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直线ax+by+2b-a=0化为a（x-1）+b（y+2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，可得直线ax+by+2b-a=0过定点Q（1，-2）．可知：垂足N在以MQ为直径的圆上，圆心即相等MQ的中点C（0，-1）．|PN|的最大值为|PC|+r．

解答 解：直线ax+by+2b-a=0化为a（x-1）+b（y+2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，解得x=1，y=-2．
∴直线ax+by+2b-a=0过定点Q（1，-2）．
∴垂足N在以MQ为直径的圆上，
圆心即相等MQ的中点C（0，-1）．
其圆的方程为：x²+（y+1）²=2．
|PC|=$\sqrt{5}$．
∴|PN|的最大值为$\sqrt{5}+\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{5}+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与圆的方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．