题目内容

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实数） $数学公式$
（1）若 a=1，求函数的单调增区间；
（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

解：（1）：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1= $\text{[math]}$
∴f（x）的单增区间为： $\text{[math]}$ （5分）
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1
若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3．
若a≠0，则f（x）=a（x- $\text{[math]}$ ）2+2a- $\text{[math]}$ -1，f（x）图象的对称轴是直线x= $\text{[math]}$
当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
当0＜ $\text{[math]}$ ＜1，即a＞ $\text{[math]}$ 时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2．
当1＜ $\text{[math]}$ ＜2，即 $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$ 时，g（a）=f（ $\text{[math]}$ ）=2a- $\text{[math]}$ -1
当2＜ $\text{[math]}$ ，即0＜a＜ $\text{[math]}$ 时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
综上得g（a）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由a=1，将函数转化为分段函数，进而每一段转化为二次函数，用二次函数法求得每段的单调区间即可．
（2）受（1）的启发，用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于a不具体，要根据对称轴分类讨论．
点评：本题主要考查分段函数，二次函数，考查求其单调区间，函数的最值，充分考查了分类讨论的方法、二次函数的图象与性质．