题目内容

已知点列An（xn，0）满足：
A0An
•
A1An+1
=a-1，其中n∈N，又已知x0=-1，x1=1，a＞1．
（1）若xn+1=f（xn）（n∈N*），求f（x）的表达式；
（2）已知点B(
a
，0)，记an=|BAn|（n∈N*），且an+1＜an成立，试求a的取值范围；
（3）设（2）中的数列an的前n项和为Sn，试求：Sn＜
a
-1
2-
a
．
（1）∵A0（-1，0），A1（1，0），∴
A0An
•
A1An+1
=(xn+1)(xn+1-1)，
∴（xn+1）（xn+1-1）=a-1，∴xn+1=f(xn)=
xn+a
xn+1
，
∴f(x)=
x+a
x+1
．（3分）
（2）∵xn+1=f(xn)=
xn+a
xn+1
，a＞1，∴xn＞1，∴xn+1＞2
∵
BAn
=(xn-
a
，0)，∴an=|BAn|=|x n-
a
|．
∵an+1=|x n+1-
a
|=|f(xn)-
a
|=|
xn+a
xn+1
-
a
|=
(
a
-1)
|xn+1|
•|xn-
a
|＜
1
2
(
a
-1)•|xn-
a
|=
1
2
(
a
-1)an
∴要使an+1＜an成立，只要
a
-1≤2，即1＜a≤9
∴a∈（1，9]为所求．（6分）
（3）∵an+1＜
1
2
(
a
-1)|xn-
a
|＜
1
22
(
a
-1)2•|x n-1-
a
|＜…＜＜
1
2n
(
a
-1)n•|x 1-
a
|=
1
2n
(
a
-1)n+1，
∴an＜
1
2n-1
(
a
-1)n（9分）
∴Sn=a1+a2+…+an＜(
a
-1)+
1
2
(
a
-1)2+…+
1
2n-1
(
a
-1)n=
(
a
-1)[1-(
a
-1
2
)n]
1-
1
2
(
a
-1)

（11分）
∵1＜a≤9，∴0＜
a
-1
2
≤1，∴0＜(
a
-1
2
)n≤1（13分）
∴
(
a
-1)[1-(
a
-1
2
)n]
1-
1
2
(
a
-1)
＜
a
-1
1-
1
2
(
a
-1)
＜
a
-1
1-(
a
-1)

∴Sn＜
a
-1
2-
a
（14分）
练习册系列答案
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已知点列An（xn，0）满足：
A0An
•
A1An+1
=a-1，其中n∈N，又已知x0=-1，x1=1，a＞1．
（1）若xn+1=f（xn）（n∈N*），求f（x）的表达式；
（2）已知点B(
a
，0)，记an=|BAn|（n∈N*），且an+1＜an成立，试求a的取值范围；
（3）设（2）中的数列an的前n项和为Sn，试求：Sn＜
a
-1
2-
a
．
已知点列An（xn，0），n∈N*，其中x1=0，x2=2，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An-2An-1的中点，…，
（Ⅰ）写出xn与xn-1、xn-2之间的关系式（n≥3）；
（Ⅱ）设an=xn+1-xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．
已知点列An（xn，0）满足：，其中n∈N，又已知x0=-1，x1=1，a>1．
（1）若xn+1=f（xn）（n∈N*），求f（x）的表达式；
（2）已知点B ，记，且an+1<an 成立，试求a的取值范围；
（3）设（2）中的数列{an}的前n项和为Sn，试求： 。
已知点列An（xn，0）满足：，其中n∈N，又已知x=-1，x1=1，a＞1．
（1）若xn+1=f（xn）（n∈N*），求f（x）的表达式；
（2）已知点B，记an=|BAn|（n∈N*），且an+1＜an成立，试求a的取值范围；
（3）设（2）中的数列an的前n项和为Sn，试求：．
已知点列An（xn，0）满足：，其中n∈N，又已知x=-1，x1=1，a＞1．
（1）若xn+1=f（xn）（n∈N*），求f（x）的表达式；
（2）已知点B，记an=|BAn|（n∈N*），且an+1＜an成立，试求a的取值范围；
（3）设（2）中的数列an的前n项和为Sn，试求：．

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