Question

已知点列A_n（x_n，0）满足：

A0An

•

A1An+1

=a-1，其中n∈N，又已知x₀=-1，x₁=1，a＞1．
（1）若x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求f（x）的表达式；
（2）已知点B(

a

，0)，记a_n=|BA_n|（n∈N^*），且a_n+1＜a_n成立，试求a的取值范围；
（3）设（2）中的数列a_n的前n项和为S_n，试求：Sn＜

a -1

2- a

．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式可得（x_n+1）（x_n+1-1）=a-1，从而可得函数的表达式；
（2）利用a_n=|BA_n|及

BAn

=(xn-

a

，0)，将问题转化为要使a_n+1＜a_n成立，只要

a

-1≤2，从而可求参数的范围；
（3）利用（2）中的结论可得an＜

1

2n-1

(

a

-1)n，从而求和，利用1＜a≤9得0＜(

a -1

2

)n≤1，从而得证．

解答：解：（1）∵A₀（-1，0），A₁（1，0），∴

A0An

•

A1An+1

=(xn+1)(xn+1-1)，
∴（x_n+1）（x_n+1-1）=a-1，∴xn+1=f(xn)=

xn+a

xn+1

，
∴f(x)=

x+a

x+1

．（3分）
（2）∵xn+1=f(xn)=

xn+a

xn+1

，a＞1，∴x_n＞1，∴x_n+1＞2
∵

BAn

=(xn-

a

，0)，∴an=|BAn|=|x n-

a

|．
∵an+1=|x n+1-

a

|=|f(xn)-

a

|=|

xn+a

xn+1

-

a

|=

( a -1)

|xn+1|

•|xn-

a

|＜

1

2

(

a

-1)•|xn-

a

|=

1

2

(

a

-1)an
∴要使a_n+1＜a_n成立，只要

a

-1≤2，即1＜a≤9
∴a∈（1，9]为所求．（6分）
（3）∵an+1＜

1

2

(

a

-1)|xn-

a

|＜

1

22

(

a

-1)2•|x n-1-

a

|＜…＜＜

1

2n

(

a

-1)n•|x 1-

a

|=

1

2n

(

a

-1)n+1，
∴an＜

1

2n-1

(

a

-1)n（9分）
∴Sn=a1+a2+…+an＜(

a

-1)+

1

2

(

a

-1)2+…+

1

2n-1

(

a

-1)n=

( a -1)[1-( a -1 2 )n]

1- 1 2 ( a -1)

（11分）
∵1＜a≤9，∴0＜

a -1

2

≤1，∴0＜(

a -1

2

)n≤1（13分）
∴

( a -1)[1-( a -1 2 )n]

1- 1 2 ( a -1)

＜

a -1

1- 1 2 ( a -1)

＜

a -1

1-( a -1)

∴Sn＜

a -1

2- a

（14分）

点评：本题主要考查了数列与向量的综合运用，是各地高考的热点，综合性较强，考查了学生对知识的综合运用和全面掌握，平常应多加训练．