Question

平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条也不共点,求证:这n条直线把平面分割成 (n²+n+2)个区域.

      

Answer 1

证明:(1)当n=1时,一条直线把平面分成两个区域,?

       又 (1²+1+2)=2,?

       所以n=1时命题成立.?

       (2)假设n=k时,命题成立,?

       即k条满足题意的直线把平面分割成了 (k²+k+2)个区域.?

       那么当n=k+1时,k+1条直线中的k条直线把平面分成了 (k²+k+2)个区域,?

       第k+1条直线被这k条直线分成k+1条线段,每段把它们所在的区域分成了两块,?

       因此增加了k+1个区域.?

       所以k+1条直线把平面分成了 (k²+k+2)+k+1=［(k+1)²+(k+1)+2］个区域.?

       所以n=k+1时命题也成立.?

       根据(1)(2)知,对一切的n∈N^*,此命题均成立.