Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在点处的切线方程为，求的值；

（2）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用函数在处切线的斜率为可求得.将切点坐标代入切线方程可求得.（2）构造函数，则问题转化为在区间上恒成立.对求导后，对分成三类，讨论函数的单调区间和最值，由此求得的取值范围.

试题解析：（1）由题知：，

又，即，

∴，

∴，

∴，

所以切点为，代入切线方程得：，

∴.

（2）令，则的定义域为，

在区间上函数的图象恒在直线下方，

等价于在区间上恒成立，

∵，

令，得或，

①若，则，

∴在上有，在上有，

∴在上递减，在上递增，

∴，

此时与在区间上恒成立相背，

∴不符合题意.

②若时，则，

∵在上有，∴在区间递增，

∴，此时与在区间上恒成立相背，

∴不符合题意.

③若，则，

∵在区间上有，则在区间递减，

∴在恒成立，要使在恒成立，

只需，∴，

∴.

综上，当时，函数的图象恒在直线下方.