Question

【题目】已知函数（）.

（I）若，求曲线在点处的切线方程；

（II）若在上无极值点，求的值；

（III）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.

【解析】

（I）由导数的几何意义,切线的斜率,先求，，,利用直线方程的点斜式求解. （II）因为,所以若在上无极值点,则，即，，解得.

(III)讨论当时,在上的符号, 函数的单调性、极值情况,从而分析

函数的图像与x轴的交点个数,得出函数的零点个数.

（I）当时，，

，，，

所以曲线在点处的切线方程为.

（II），，依题意有，即，

，解得.

(III)（1）时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点.

（2）时：

当，，函数为增函数；

当，，函数为减函数；

当，，函数为增函数.

由于，此时只需判定的符号：

当时，函数在上无零点；

当时，函数在上有一个零点；

当时，函数在上有两个零点.

综上，时函数在上无零点；

当时，函数在上有一个零点；

当时，函数在上有两个零点.