Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，S₃=39．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若在a_n与a_n+1之间插入n个数，使得这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，求证：…．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a₁=3，S₃=39，知1+q+q²=13．故q=3，或q=-4，由此能求出．
（Ⅱ）由，知，由题知：a_n+1=a_n+（n+1）d_n，则．由上知：，所以=，由此利用错位相减法能够证明…．
解答：解：（Ⅰ）∵a₁=3，S₃=39，∴q≠1，，
∴1+q+q²=13．∴q=3，或q=-4（舍），
故．…（6分）
（Ⅱ）∵，则，由题知：
a_n+1=a_n+（n+1）d_n，则．
由上知：，
所以=，
，
所以-
=-
=，
所以．
故…．…（12分）
点评：本题考查数列通项公式的求法，证明数列的前n项和小于定值．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．