Question

如图，l₁、l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在l₁上,C在l₂上,AM=MB=MN.

(1)证明AC⊥NB;

(2)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

解：如图建立空间直角坐标系M—xyz，令MN=1，?

则有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）.

(1)证明：∵MN是l₁、l₂的公垂线.l₂⊥l₁,

∴l₂⊥平面ABN.?

∴l₂平行于z轴?

故可设C(0,1,m)　　

于是=(1,1,m),=(1,-1,0),?

∵·=1+（-1）+0=0，∴AC⊥NB.

(2)解：∵=(1,1,m), =(-1,1,m).

∴||=||,又已知∠ACD=60°,?

∴△ABC为正三角形，AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中，NB=，可得NC=，故C（0，1，）.连结MC，作NH⊥MC于H，设Ｈ（0，λ, λ）(λ＞0).?

∴=(0,1-λ,- λ),=(0,1, ),?

∵·=1-λ-2λ=0,?

∴λ=.?

∴H(0,,),可得HN=（0，，-），连结BH，则BH=（-1，，）.?

∵·=0+-=0，?

∴⊥.?

又MC∩BH=H,?

∴HN⊥平面ABC，∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=（-1，1，0），?

∴cos∠NBH===.