Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA1=A₁C
（Ⅰ）试判断A₁A与平面A₁BC是否垂直，并说明理由；
（Ⅱ）求底面ABC与侧面BB₁C₁C所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AC中点D，连接A₁D，由已知中侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，利用反证法证明A₁A与平面A₁BC不垂直；
（II）利用三垂线定理，作出∠CFE即为所求侧面BB₁C₁C与地面A₁B₁C₁所成的锐二面角的平面角，然后解三角形CFE即可求出底面ABC与侧面BB₁C₁C所成二面角的余弦值．
解答：解：（I）取AC中点D，连接A₁D，则A₁D⊥AC．
又∵侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，交线为AC，
∵A₁D⊥面ABC（2分）
∴A₁D⊥BC．
假设AA₁与平面A₁BC垂直，则A₁A⊥BC．
又A₁D⊥BC，由线面垂直的判定定理，
BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC，
这样在△ABC中有两个直角，与三角形内角和定理矛盾．
假设不成立，所以AA₁不与平面A₁BC垂直（5分）
（II）侧面BB₁C₁C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB₁C₁C与A₁B₁C₁底面所成的锐二面角．
过点C作A₁C₁的垂线CE于E，则CE⊥面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥CE．
过点E作B₁C₁的垂线EF于F，连接CF．
因为B₁C₁⊥EF，B₁C₁⊥CE，所以B₁C₁⊥面EFC，B₁C₁⊥CF
所以∠CFE即为所求侧面BB₁C₁C与底面A₁B₁C₁所成的锐二面角的平面角（9分）
由 ，EF=1，得
在Rt△ABC中，cos∠CFE=
所以，侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为（12分）
点评：本题考查直线与直线的垂直的判定，二面角的余弦值，考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何问题代数化，是中档题．