Question

如图：在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F是棱D₁C₁上任意的两点，且EF=

1

3

a，P是BC上的动点，则三棱锥E-APF的体积的最大值为

1

18

a3

．

Answer 1

分析：根据三棱锥E-APF的体积等于三棱锥P-AEF的体积，而三棱锥P-AEF的底面三角形AEF的面积是定值，从而当三棱锥P-AEF的高最大时，其体积最大，而当P点运动到C点时，三棱锥P-AEF的高最大，根据锥体的体积公式进行计算即得．

解答：解：由于三棱锥E-APF的体积等于三棱锥P-AEF的体积，
而三棱锥P-AEF的底面三角形AEF的面积S=

1

2

EF•AD₁=

1

2

×

1

3

a×

2

a=

2

6

a2是定值，
故当三棱锥P-AEF的高最大时，其体积最大，
而当P点运动到C点时，三棱锥P-AEF的高最大，
最大为C到平面ABC₁D₁的距离h=

2

2

a，
故三棱锥P-AEF的体积的最大值为：V=

1

3

Sh=

1

3

×

2

6

a2×

2

2

a=

1

18

a3．
故答案为：

1

18

a3．

点评：本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力．属于基础题．