Question

（本小题满分12分）

设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离O为坐标原点。

（I）求椭圆C的方程；

（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）

【解析】（I）由

由右焦点到直线的距离为

得：

解得

所以椭圆C的方程为                                                 …………4分

（II）设，

直线AB的方程为

与椭圆联立消去y得

即

整理得

所以O到直线AB的距离

                                                       …………8分

，

当且仅当OA=OB时取“=”号。

由

即弦AB的长度的最小值是                                                 …………12分