题目内容
如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是AC与BD的交点，M是CC1的中点．
（1）求证：A1P⊥平面MBD；
（2）求直线B1M与平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值．
（1）求证：A1P⊥平面MBD；
（2）求直线B1M与平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值．
解：（1）证明：如图，以D为坐标原点，向量
，
，
为单位正交基向量，
建立空间直角坐标系D﹣xyz．则P（
，
，0），M（0，1，
）．
=（﹣
，
，﹣1），
=（1，1，0），
=（0，1，
），
所以
=0，
=0．
所以
又因为BD∩DM=D，
所以A1P⊥平面MBD；
（2）由（1）可知，可取
=（1，﹣1，2）为平面MBD的一个法向量．
又
=（﹣1，1，
），
所以cos＜
，
＞=
所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为
．
（3）
=（0，1，0），
=（﹣1，0，
）．
设
1=（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，
则
解得
即
，故可取
1=（1，0，2）．
由（1）可知，可取
=（1，﹣1，2）为平面MBD的一个法向量．
所以cos＜
，
1＞=
=
．
所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为
．
，，为单位正交基向量，建立空间直角坐标系D﹣xyz．则P（
，，0），M（0，1，）．=（﹣，，﹣1），=（1，1，0），=（0，1，），所以
=0，=0．所以
又因为BD∩DM=D，
所以A1P⊥平面MBD；
（2）由（1）可知，可取
=（1，﹣1，2）为平面MBD的一个法向量．又
=（﹣1，1，），所以cos＜
，＞=所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为
．（3）
=（0，1，0），=（﹣1，0，）．设
1=（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，则
解得
即，故可取1=（1，0，2）．由（1）可知，可取
=（1，﹣1，2）为平面MBD的一个法向量．所以cos＜
，1＞==．所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为
．
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