Question

在锐角三角形ABC中，角A，B，C对边a，b，c且a²+b²-ab=c²，tanA-tanB=csc2A
①求证：2A-B=；
②求三角形ABC三个角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）将等式tanA-tanB=csc2A进行“切化弦”，再利用二倍角的三角函数公式和诱导公式化简得tan（-2A）=tan
（），结合A、B均为锐角得-2A+π=，即得2A-B=成立；
（2）利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，结合题意解出cosC=，从而得到C=．再结合三角形内角和定理和（1）的等式联解，即可得到△ABC三个角的大小．
解答：解：（1）∵tanA-tanB=csc2A，即
∴，可得
即-tan2A=tan（），得tan（-2A）=tan（），
∵A、B∈（0，），∴-2A+π=，解之得2A-B=；
（2）∵a²+b²-ab=c²，
∴根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得cosC=
结合C∈（0，），得C=
由三角形内角和定理，得A+B=
根据（1）2A-B=，联解得A=，B=
综上所述，三角形ABC三个角的大小分别为A=，B=，C=．
点评：本题给出三角形的边和角满足的条件，求三角形的三个内角的大小．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角三角函数公式和余弦定理等知识点，属于中档题．